Question

1．如图，A、B、C、D为空间四点，△ABC中，AB=AC=BC=2，等边三角形ADB以AB为轴运动，当平面ADB⊥平面ABC时，则CD=$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 取AB的中点M，连接DM、CM，利用空间中的垂直关系证明DM⊥CM，再用直角三角形的边角关系求出CD的长．

解答 解：取AB的中点M，连接DM、CM，如图所示：

则CM⊥AB，DM⊥AB，∴CM=DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\sqrt{3}$；
又平面ADB⊥平面ABC时，且DM?平面ADB，
∴DM⊥平面ABC，
又CM?平面ABC，∴DM⊥CM；
∴△CMD是直角三角形，
∴CD²=DM²+CM²=${（\sqrt{3}）}^{2}$+${（\sqrt{3}）}^{2}$=6，
∴CD=$\sqrt{6}$．
故答案为：$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了用线面垂直的方法来证明线线垂直问题，也考查了空间想象能力的应用问题，是基础题目．