Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，底面，，，点为棱的中点，点分别为棱上的动点(与所在棱的端点不重合），且满足．

（1）证明：平面平面;

（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）．

【解析】

（1）连接AC交BD于N，连接MN，证明MN∥PA，AC⊥MN得到AC⊥平面MBD，再根据EF∥AC得到证明.

（2）设BE＝BF＝x，由，得到E，F分别为棱AB，BC的中点时体积最大，以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，计算平面MEF和平面MEC的法向量，计算向量夹角得到答案.

（1）连接AC交BD于N，连接MN，

∵底面ABCD为正方形，∴AC⊥BD，AN＝NC，又∵PM＝MC，∴MN∥PA，

由PA⊥底面ABCD知，MN⊥底面ABCD，又AC底面ABCD，∴AC⊥MN，

又BD∩MN＝N，BD，MN平面MBD，∴AC⊥平面MBD，

在△ABC中，∵BE＝BF，BA＝BC，∴，即EF∥AC，

∴EF⊥平面MBD，又EF平面PEF，∴平面PEF⊥平面MBD；

（2）设BE＝BF＝x，由题意，又PA＝4，

∴，当x＝2时，三棱锥F﹣PEC的体积最大．

即此时E，F分别为棱AB，BC的中点．

以A为坐标原点，分别以AF，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

则C（，2，0），F（2，0，0），E（，，0），M（，1，2），

，，，

设，

取＝1，得：，

设为平面MEC的一个法向量，则，

取＝1，得：，则，

由图知所求二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．