Question

【题目】在平面直角坐标系中内动点P（x，y）到圆F：x2+（y﹣1）2=1的圆心F的距离比它到直线y=﹣2的距离小1．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹为曲线E，过点F的直线l的斜率为k，直线l交曲线E于A，B两点，交圆F于C，D两点（A，C两点相邻）．
①若 =t ，当t∈[1，2]时，求k的取值范围；
②过A，B两点分别作曲线E的切线l1 ， l2 ， 两切线交于点N，求△ACN与△BDN面积之积的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意，动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，

∴动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，

∴动点P的轨迹是以F（0，1）为焦点的抛物线，其方程为x2=4y

（2）解：①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，

设（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1x2=﹣4，

∵ =t ，∴t=﹣ ，

∴ =﹣t﹣ +2=﹣4k2，

∴t+ =4k2+2

∵f（t）=t+ 在[1，2]上单调递增，∴2≤t+ ，

∴ ；

②y= ，y′= ，

∴直线AN：y﹣ x12= x1（x﹣x1），BN：y﹣ x22= x1（x﹣x2），

两式相减整理可得x= （x1+x2）=2k，

∴N（2k，﹣1），N到直线AB的距离d=2 ，

∵|AC|=|AF|﹣1=y1，|BD|=|BF|﹣1=y2，

∴|AC||BD|=1

∴△ACN与△BDN面积之积= = =1+k2，

当且仅当k=0时，△ACN与△BDN面积之积的最小值为0

【解析】（1）由动点P（x，y）到F（0，1）的距离比到直线y=﹣2的距离小1，可得动点P（x，y）到F（0，1）的距离等于它到直线y=﹣1的距离，利用抛物线的定义，即可求动点P的轨迹W的方程；（2）①由题意知，直线l方程为y=kx+1，代入抛物线得x2﹣4kx﹣4=0，利用条件，结合韦达定理，可得t+ =4k2+2，利用函数的单调性，即可求k的取值范围；②求出直线AN，BN的方程，表示出面积，即可得出结论．