已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,且AD=2,AB=1,PA⊥平面ABCD,E、F分别是线段AB、BC的中点.
(1)证明:PF⊥FD;
(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG∥平面PFD;
(3)若PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角A-PD-F的余弦值.
(1)见解析(2)见解析(3)
【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,∠BAD=90°,AB=1,AD=2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),F(1,1,0),D(0,2,0).
不妨令P(0,0,t),则=(1,1,-t),=(1,-1,0).
所以·=1×1+1×(-1)+(-t)×0=0,所以PF⊥FD.
(2)设平面PFD的法向量为n=(x,y,z),由(1)知=(1,1,-t),=(1,-1,0),则由,得,令z=1,则x=y=.
故n=是平面PFD的一个法向量.
设G点坐标为(0,0,m),因为E,则
要使EG∥平面PFD,只需 ·n=0.即×+0×+m×1=m-=0,
所以m=t,从而PA上满足AG=AP的点G可使得EG∥平面PFD.
(3)易知AB⊥平面PAD,所以=(1,0,0)是平面PAD的一个法向量.
又因为PA⊥平面ABCD,所以∠PBA是PB与平面ABCD所成的角,故∠PBA=45°,所以PA=1,则平面PFD的一个法向量为n=,
则cos〈,n〉===,
由题图可判断二面角为锐角.故所求二面角A-PD-F的余弦值为.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习体系通关训练1-11练习卷(解析版) 题型:选择题
某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作,并按出发顺序前后排成一队,要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那么不同排法种数为( ).
A.360 B.520 C.600 D.720
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评6练习卷(解析版) 题型:填空题
l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评6练习卷(解析版) 题型:选择题
若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆O的方程是( ).
A.(x-)2+y2=5
B.(x+)2+y2=5
C.(x-5)2+y2=5
D.(x+5)2+y2=5
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评5练习卷(解析版) 题型:填空题
如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形,AC=2a,BB1=3a,D是A1C1的中点,点F在线段AA1上,当AF=________时,CF⊥平面B1DF.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评5练习卷(解析版) 题型:选择题
正方体AC1的棱长为1,过点A作平面A1BD的垂线,垂足为点H,则下列命题中错误的是( ).
A.点H是△A1BD的垂心
B.AH垂直于平面CB1D1
C.AH的延长线经过点C1
D.直线AH和BB1所成角为45°
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(理)二轮复习专题能力测评4练习卷(解析版) 题型:选择题
已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,Sn=2an+1,则Sn=( ).
A.2n-1 B. n-1 C. n-1 D.
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