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已知在四棱锥PABCD中,底面ABCD是矩形,且AD2AB1PA平面ABCDEF分别是线段ABBC的中点.

(1)证明:PFFD

(2)判断并说明PA上是否存在点G,使得EG平面PFD

(3)PB与平面ABCD所成的角为45°,求二面角APDF的余弦值.

 

1)见解析(2)见解析(3

【解析】(1)因为PA平面ABCDBAD90°AB1AD2,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(00,0)B(1,0,0)F(1,1,0)D(0,2,0)

不妨令P(0,0t),则(1,1,-t)(1,-1,0)

所以·1×11×(1)(t)×00,所以PFFD.

(2)设平面PFD的法向量为n(xyz),由(1)(1,1,-t)(1,-1,0),则由,得,令z1,则xy.

n是平面PFD的一个法向量.

G点坐标为(0,0m),因为E,则

要使EG平面PFD,只需 ·n0.×m×1m0

所以mt,从而PA上满足AGAP的点G可使得EG平面PFD.

(3)易知AB平面PAD,所以(1,0,0)是平面PAD的一个法向量.

又因为PA平面ABCD,所以PBAPB与平面ABCD所成的角,故PBA45°,所以PA1,则平面PFD的一个法向量为n

cosn〉=

由题图可判断二面角为锐角.故所求二面角APDF的余弦值为.

 

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