Question

13．已知函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$，其反函数为y=g（x）．
（Ⅰ） 若g（mx²+2x+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（Ⅱ） 当x∈[-1，1]时，求函数y=[f（x）]²-2af（x）+3的最小值h（a）；
（Ⅲ） 是否存在实数m＞n＞2，使得函数y=h（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得g（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}x$，由定义域为R，可得mx²+2x+1＞0恒成立，即有m＞0，判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（Ⅱ）令$t={（\frac{1}{2}）^x}，t∈[\frac{1}{2}，2]$，即有y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，即可得到所求最小值；
（III）h（x）=7-4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减，可得h（n）=m²，h（m）=n²，两式相减，即可判断．

解答 解：（Ⅰ）由函数$f（x）={（\frac{1}{2}）^x}$，可得其反函数为y=$g（x）={log_{\frac{1}{2}}}x$，
因为$g（m{x^2}+2x+1）={log_{\frac{1}{2}}}（m{x^2}+2x+1）$定义域为R，
即有mx²+2x+1＞0恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}m＞0\\△=4-4m＜0\end{array}\right.$，
解得m∈（1，+∞）；
（Ⅱ）令$t={（\frac{1}{2}）^x}，t∈[\frac{1}{2}，2]$，
即有y=t²-2at+3=（t-a）²+3-a²，
当a＞2，区间[$\frac{1}{2}$，2]为减区间，t=2时，y_min=7-4a；
当$\frac{1}{2}$≤a≤2，t=a时，y_min=3-a²；
当a＜$\frac{1}{2}$，区间[$\frac{1}{2}$，2]为增区间，t=$\frac{1}{2}$时，y_min=$\frac{13}{4}$-a．
则$h（a）=\left\{\begin{array}{l}7-4a，a＞2\\ 3-{a^2}，\frac{1}{2}≤a≤2\\ \frac{13}{4}-a，a＜\frac{1}{2}\end{array}\right.$；
（III）h（x）=7-4x，x∈（2，+∞），且h（x）在x∈（2，+∞）上单调递减．
所以$\left\{\begin{array}{l}{h（n）=7-4n={m}^{2}}\\{h（m）=7-4m={n}^{2}}\end{array}\right.$，两式相减得，
m+n=4，与m＞n＞2矛盾，
所以不存在m，n满足条件．

点评 本题考查函数的定义域和值域的求法，考查二次函数的最值的求法，注意运用分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题．