Question

已知一个扇形周长为C（C＞0），当扇形的中心角为多少时，它的面积最大？

Answer 1

考点：扇形面积公式

专题：计算题,三角函数的求值

分析：利用扇形的周长，求出扇形的半径，可得扇形的面积，整理成二次方程，利用判别式△=（8S-c²）²-64S²≥0，即可得出结论．

解答： 解：设扇形的半径为R，圆心角为α，面积为S．
∵扇形的周长c=2R+l=2R+Rα（l为扇形的弧长），
∴R=

c

2+α

．
则S=

1

2

Rl=

1

2

R•Rα=

1

2

R²α=

1

2

•R²α=

1

2

•

c2α

(2+α)2

．
将上式整理可得2Sα²+（8S-c²）α+8S=0．
∵α为实数，∴方程2Sα²+（8S-c²）α+8S=0的判别式△=（8S-c²）²-64S²≥0．
解得0＜S≤

c2

16

．
当S=

c2

16

时，有

1

2

•

c2α

(2+α)2

=

c2

16

．
则α²-4α+4=0，从而α=2．
故当扇形的圆心角为2rad时，扇形的面积有最大值，最大值为

c2

16

．

点评：本题考查扇形的面积，考查学生的计算能力，比较基础．