Question

求函数f（x）=2（sinx+cosx）-sin2x+3在区间[-

π

4

，

π

2

]上的值域．

Answer 1

考点：三角函数的最值,二倍角的正弦,复合三角函数的单调性

专题：三角函数的求值

分析：令t=sinx+cosx，推出t²=1+2sinxcosx，化简y=2（sinx+cosx）-2sinxcosx+3化为t的二次函数，根据t的范围求出函数的最值；

解答： 解：函数f（x）=2（sinx+cosx）-sin2x+3
令t=sinx+cosx，则有t²=1+2sinxcosx，即sinxcosx=

t2-1

2

．
有y=f（t）=2t-2×

t2-1

2

+3=-（t+1）²+5．
又t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），
∴x∈[-

π

4

，

π

2

]，x+

π

4

∈[0，

3π

4

]，
t∈[0，

2

]．故y=f（t）=-（t+1）²+5∈[2-2

2

，4]．
即函数的值域为[2-2

2

，4]．

点评：本题考查三角函数的化简求值、函数的值域，考察计算能力，属于中档题．