Question

已知各项都是正数的等比数列{a_n}满足7a₄+3a₃=7a₂+3a₁+4，那么7a₈+3a₇的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的通项公式

专题：导数的综合应用,等差数列与等比数列

分析：设等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0且q≠1，根据题意用q表示出7a₂+3a₁，求出它的最小值即可．

解答： 解：设各项都是正数的等比数列{a_n}的公比为q，则q＞0，
∵7a₄+3a₃=7a₂+3a₁+4，∴q≠1，
∴q²（7a₂+3a₁）=7a₂+3a₁+4，∴7a₂+3a₁=

4

q2-1

；
∴7a₈+3a₇=q⁶（7a₂+3a₁）=

4q6

q2-1

=

4

1 q4 - 1 q6

，
令

1

q2

=t，则t＞0，
∴

4q6

q2-1

=

4

t2-t3

；
设f（t）=t²-t³，（t＞0），
∴f′（t）=2t-3t²，
令f′（t）=0，
解得t=0（舍去），或t=

2

3

；
∴当t=

2

3

时，f（t）取得最大值是f（t）_max=(

2

3

)2-(

2

3

)3=

4

27

，
∴

4q6

q2-1

取得最小值是

4

4 27

=27．
故答案为：27．

点评：本题考查了等比数列的通项公式的应用问题，也考查了利用导数求函数的最值问题，是综合性题目．