Question

已知球的半径为R，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，求圆锥的内接等边圆柱的体积．

Answer 1

考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间位置关系与距离

分析：根据球的半径为R，一个圆锥的高等于这个球的直径，而且球的表面积等于圆锥的表面积，求出圆锥的母线长和底面半径，进而求出圆锥的内接等边圆柱的底面半径和高，代入圆柱体积公式，可得答案．

解答： 解：半径为R的球的表面积为：4πR²，
设圆锥的底面边长为r，
由圆锥的高等于这个球的直径可得：
圆锥的母线l=

r2+4R2

，
由球的表面积等于圆锥的表面积，
可得：πr（r+l）=πr（r+

r2+4R2

）=4πR²，
解得：r²=

4

3

R²，即r=

2

3

3

R，
则l=

4

3

3

R，
故圆锥的轴截面为一个等边三角形，
设圆锥的内接等边圆柱的底面半径为r′，
则圆锥的内接等边圆柱的高为2r′，
则r′=（2

3

-3）r=（2

3

-3）

2

3

3

R=（4-2

3

）R，
则圆锥的内接等边圆柱的高为（8-4

3

）R，
故圆锥的内接等边圆柱的体积V=π•（r′）²•2r′=（416-240

3

）πR³

点评：本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握圆锥的表面积公式，球的表面积公式及圆柱的体积公式，是解答的关键．