Question

求函数y=

x-1

+

3-x

的值域．

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：本题可以利用

x-1

与

3-x

的平方和为定值，采用换元法，将原函数的值域转化为三角函数的值域问题，对三角函数式进行变形化简后，求出三角函数的值域，得到本题结论．

解答： 解：∵（

x-1

）²+（

3-x

）²=x-1+3-x=2，
∴可设

x-1

=

2

cosα，

3-x

=

2

sinα，α∈[0，

π

2

]，
∴y=

2

cosα+

2

sinα
=2（

2

2

cosα+

2

2

sinα）
=2sin(α+

π

4

)．
∵0≤α≤

π

2

，
∴

π

4

≤α+

π

4

≤

3

4

π，
∴

2

2

≤sin(α+

π

4

)≤1，
∴

2

≤2sin(α+

π

4

)≤2，
即函数y=

x-1

+

3-x

的值域为[

2

，2]．

点评：本题考查了三角代换法求函数值域，本题也可以利用平方法和基本不等式研究函数值域，本题方法灵活，难度不大，属于基础题．