Question

已知抛物线y²=4x的焦点为F，过点F作一条直线l与抛物线交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点
（Ⅰ）求以点F为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程
（Ⅱ）从x₁，x₂，|y₁|，|y₂|，1，2中取出三个量，使其构成等比数列，并予以证明．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）明确抛物线的焦点坐标，利用点到直线的距离求圆的方程；
（2）设l 的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系可得．

解答： 解：（1）由已知，抛物线的焦点坐标为F（1，0），到直线y=x的距离为r=

2

2

，
所以以点F为圆心，且与直线y=x相切的圆的方程为（x-1）²+y²=

1

2

；
（2）设l 的方程为y=k（x-1），与抛物线方程联立得

y=k(x-1) y2=4x

，所以k²（x-1）²=4x，即k²x²-（2k²+4）x+k²=0，
所以x₁•x₂=1，
所以x₁，1，x₂构成等比数列．

点评：本题考查了抛物线的性质以及直线与抛物线的位置关系，关键是联立方程组，利用根与系数的关系解答．