Question

△ABO中，

OA

=

e1

，

OB

=

e2

，且|

e1

|=|

e2

|，设

OC

=

1

2

e1

+

1

2

e2

，

OD

=

1

3

e1

+

2

3

e2

，

OE

=

1

4

e1

+

3

4

e2

（1）求证：A，B，C，D，E五点共线，
（2）指出|

OC

|，|

OD

|，|

OE

|的最小者，并说明理由．

Answer 1

考点：平面向量的基本定理及其意义,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：（1）由已知中△ABO中，

OA

=

e1

，

OB

=

e2

，

OC

=

1

2

e1

+

1

2

e2

，可得

AB

=2

AC

，A，B，C三点共线，同理由

OD

=

1

3

e1

+

2

3

e2

，

OE

=

1

4

e1

+

3

4

e2

可得A，B，D三点共线，A，B，E三点共线，进而A，B，C，D，E五点共线，
（2）由|

e1

|=|

e2

|，故△ABO为等腰三角形，则根据点到直线的距离，垂线段最短，可得答案．

解答： 证明：（1）∵△ABO中，

OA

=

e1

，

OB

=

e2

，

OC

=

1

2

e1

+

1

2

e2

，
∴

AB

=

OB

-

OA

=

e2

-

e1

，

AC

=

OC

-

OA

=

1

2

（

e2

-

e1

），
∴

AB

=2

AC

，
∴A，B，C三点共线，
同理由

OD

=

1

3

e1

+

2

3

e2

可得：

AB

=3

AD

，
∴A，B，D三点共线，
由

OE

=

1

4

e1

+

3

4

e2

可得：

AB

=4

AE

，
∴A，B，E三点共线，
综上，A，B，C，D，E五点共线，
（2）由|

e1

|=|

e2

|，
故△ABO为等腰三角形，
由（1）知，C，D，E分别为AB边的中点，三等分点和四等分点，且OC⊥AB，
根据点到直线的距离，垂线段最短，可得|

OC

|最小．

点评：本题考查的知识点是向量共线的充要条件，向量模的比较，难度不大，属于基础题．