Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，侧面PAD是正三角形，且CD⊥面PAD，E 为侧棱PD的中点．
（1）求证：PB∥平面EAC；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）若直线AC与平面PCD所成的角为45°，求

AD

CD

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）连结BD交AC于O，连结EO，由已知得EO∥PB，由此能证明PB∥平面EAC．
（2）由已知得AE⊥PD，CD⊥AE，由此能证明AE⊥平面PCD．
（3）AE⊥平面PCD，直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE，由此能求出

AD

CD

=

2

．

解答： （1）证明：连结BD交AC于O，连结EO，
∵O、E分别为BD、PD的中点，∴EO∥PB  …（2分）
∵EO?平面EAC，PB不包含于平面EAC，
∴PB∥平面EAC．…（4分）
（2）证明：正三角形PAD中，E为PD的中点，
∴AE⊥PD，…（8分）
∵CD⊥面PAD，又AE?平面PAD，∴CD⊥AE，
又PD∩CD=D，PD?面PCD，CD?面PCD，
∴AE⊥平面PCD．…（10分）
（3）解：由（2）AE⊥平面PCD，
直线AC与平面PCD所成的角为∠ACE…（11分）
∴Rt△ACE中，∠ACE=45°，AC=

2

AE，
又正△PAD中，AE=

3

2

AD，
∴AC=

6

2

AD，又矩形ABCD中，AC=

AD2+CD2

=

6

2

AD，
解得CD=

2

2

AD，∴

AD

CD

=

2

．…（14分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查直线与平面垂直的证明，考查两线段长的比值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．