Question

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，该四棱锥的三视图如图  （1）求四棱锥的体积和表面积；
（2）求PD与平面ABCD所成的角的正弦值；
（3）求二面角P-BC-A的余弦值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）由该四棱锥的三视图知PA=1，ABCD是边长为1的正方形，又PA⊥平面ABCD，由此能求出四棱锥的体积和表面积．
（2）由PA⊥平面ABCD，得∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，由此能求出PD与平面ABCD所成的角的正弦值．（3）由取BC中点O，连结PO，AO，则PO⊥BC，AO⊥BC，∠POA是二面角P-BC-A的平面角，由此能求出二面角P-BC-A的余弦值．

解答： 解：（1）由该四棱锥的三视图知PA=1，ABCD是边长为1的正方形，
又PA⊥平面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

S正方形ABCD•PB=

1

3

×12×1=

1

3

．
四棱锥P-ABCD的表面积：
S=S_△PAB+S_△PBD+S_△PCD+S_△PAC
=

1

2

×1×1+

1

2

×1×

2

+

1

2

×1×

2

+

1

2

×1×1
=1+

2

．
（2）∵PA⊥平面ABCD，∴∠PDA是PD与平面ABCD所成的角，
∵PA=1，ABCD是边长为1的正方形，
∴AD=

2

，PD=

3

，
∴sin∠PDA=

PA

PD

=

3

3

，
∴PD与平面ABCD所成的角的正弦值为

3

3

．
（3）由已知得PB=PC=

2

，
取BC中点O，连结PO，AO，则PO⊥BC，AO⊥BC，
∴∠POA是二面角P-BC-A的平面角，
∵AO=

2

2

，PO=

2- 1 2

=

6

2

，PA=1，
∴cos∠AOP=

1 2 + 3 2 -1

2× 2 2 × 6 2

=

3

3

．
故二面角P-BC-A的余弦值为

3

3

．

点评：本题考查四棱锥的体积和表面积的求法，考查直线与平面所成角的正弦值的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．