Question

已知正三棱锥的高比底面边长小4，且其外接球的表面积为196π，则该正三棱锥的体积为

 

．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：由已知得该三棱锥外接球的半径为7，H是正△ABC的中心，AH=

3

2

a×

2

3

=

3

3

a，则球心到底面中心的距离为|a-4-7|，由勾股定理得a=12，由此能求出该正三棱锥的体积．

解答： 解：如图，设球半径为r，正三棱锥的底面边长为a，则高SH=a-4，
∵正三棱锥的外接球的表面积为196π，
∴4πr²=196π，解得r=7，即该三棱锥外接球的半径为7，
∵H是正△ABC的中心，∴AH=

3

2

a×

2

3

=

3

3

a，
则球心到底面中心的距离为|a-4-7|，
在Rt△OHA中，由勾股定理得，7²=（a-4-7）²+（

3

3

a）²，
解得a=12，或a=

9

2

，（舍）
∴a=12，SH=8，
∴该正三棱锥的体积为：
V=

1

3

×

1

2

×a2×sin60°×SH=

1

3

×

3

4

×a²×SH=96

3

．
故答案为：96

3

．

点评：本题考查三棱锥的体积的求法，则中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．