Question

已知正实数a，b，c满足a+b+c=1，

1

a

+

1

b

+

1

c

=10，则abc的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：平均值不等式在函数极值中的应用

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由a+b+c=1结合基本不等式，可得0＜ab+bc+ac≤

1

3

，由

1

a

+

1

b

+

1

c

=10，可得abc=

1

10

（ab+bc+ac），即可得出结论．

解答： 解：由a+b+c=1可得：1=（a+b+c）²=a²+b²+c² +2ab+2bc+2ac≥3（ab+bc+ac），
故有0＜ab+bc+ac≤

1

3

．
∵

1

a

+

1

b

+

1

c

=10，
∴abc=

1

10

（ab+bc+ac），
∴0＜abc≤

1

30

，
故答案为：（0，

1

30

]．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定0＜ab+bc+ac≤

1

3

是关键．