Question

9．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的边长为4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E为PA中点．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）若PA=PC，求三棱锥E-ABC的体积．

Answer 1

分析 （1）设AC∩BD=O，连结PO，推导出AC⊥BD，PO⊥BD，由此能证明BD⊥平面PAC．
（2）推导出PO⊥平面ABCD，求出S_△ABC和PO，取AO中点F，连结EF，EF是△PAO中位线，从而EF⊥平面ABC，由此能求出三棱锥E-ABC的体积．

解答 证明：（1）设AC∩BD=O，连结PO
∵四棱锥P-ABCD中，底面ABCD的边长为4的菱形，
∴AC⊥BD，
∵PD=PB=4，∴PO⊥BD，
∵AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）∵PA=PC，∴PO⊥AC，
又PO⊥BD，AC∩BD=O，
∴PO⊥平面ABCD，
∵底面ABCD的边长为4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，
∴BO=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AB=2$，AC=2AO=2$\sqrt{A{B}^{2}-B{O}^{2}}$=2$\sqrt{16-4}$=4$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}×AC×BO=\frac{1}{2}×4\sqrt{3}×2$=$4\sqrt{3}$，
PO=$\sqrt{P{B}^{2}-B{O}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
取AO中点F，连结EF，
∵E是PA中点，∴EF是△PAO中位线，
∴EF∥PO，且EF=$\frac{1}{2}PO$=$\sqrt{3}$，
∴三棱锥E-ABC的体积V_E-ABC=$\frac{1}{3}×{S}_{△ABC}×EF$=$\frac{1}{3}×4\sqrt{3}×\sqrt{3}$=4．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的合理运用．