Question

17．如图，⊙O是以AB为直径的圆，点C在圆上，在△ABC和△ACD中，∠ADC=90°，∠BAC=∠CAD，DC的延长线与AB的延长线交于点E．若EB=6，EC=6$\sqrt{2}$，则BC的长为2$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 连接OC，在直角三角形ACB和ADC中，由条件可得∠DCA=∠CBA，又OB=OC，即∠CBA=∠BCO，推得OC⊥DE，ED为圆O的切线，由圆的切割线定理，可得CE²=BE•AE，计算可得圆的半径为3，再由AD∥OC，运用三角形相似的性质，对应边成比例，可得CD，AD，再由勾股定理，计算即可得到BC的长．

解答 解：连接OC，在直角三角形ACB和ADC中，
∠D=∠ACB，∠CAB=∠DAC，
可得∠DCA=∠CBA，
又OB=OC，即∠CBA=∠BCO，
又∠BCO+∠ACO=90°，
可得∠DCA+∠ACO=90°，
即有OC⊥DE，ED为圆O的切线，
由圆的切割线定理，可得CE²=BE•AE，
即有（6$\sqrt{2}$）²=6（6+AB），
解得AB=6，即圆的半径为3，
由AD∥OC，可得$\frac{CD}{CE}$=$\frac{OA}{OE}$，
即为$\frac{CD}{6\sqrt{2}}$=$\frac{3}{9}$，即有CD=2$\sqrt{2}$，
又$\frac{AD}{OC}$=$\frac{AE}{OE}$，即为$\frac{AD}{3}$=$\frac{12}{9}$，
解得AD=4，AC=$\sqrt{A{D}^{2}+C{D}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{36-24}$=2$\sqrt{3}$．
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查圆的切割线定理和三角形的相似的判定和性质的运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．