Question

6．已知函数f（x）=x⁴+$\frac{1}{3}$ax³+$\frac{1}{16}$ax²+b，其中a，b∈R，若x=0是函数f（x）唯一的极值点，则实数a的取值范围是[0，2）．

Answer 1

分析 根据求导公式和法则求出f′（x），由条件转化为：x=0是方程f′（x）=0唯一的实根，对方程化简后转化为一元二次方程根的个数问题，利用判别式列出不等式，求出a的取值范围．

解答 解：由题意得f′（x）=4x³+ax²+$\frac{1}{8}$ax，
∵x=0是函数f（x）唯一的极值点，∴x=0是方程f′（x）=0唯一的实根，
由f′（x）=0得：x（4x²+ax+$\frac{1}{8}$a）=0，
∴方程4x²+ax+$\frac{1}{8}$a=0有唯一的根0或没有实根，
∴a=0或△=${a}^{2}-4×4×\frac{1}{8}a＜$0，
解得0≤a＜2，
∴实数a的取值范围是[0，2）．
故答案为：[0，2）

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值问题，考查了转化思想和分析问题能力，属于中档题．