Question

2．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$|=1，|$\overrightarrow{b}$|=2，若对任意单位向量$\overrightarrow{e}$，均有|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值是$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根据向量三角形不等式的关系以及向量数量积的应用进行计算即可得到结论．

解答 解：由绝对值不等式得$\sqrt{6}$≥|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|≥|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|=|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$|，
于是对任意的单位向量$\overrightarrow{e}$，均有|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$|≤$\sqrt{6}$，
∵|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=5+2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
∴|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）|=$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
因此|（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）•$\overrightarrow{e}$|的最大值$\sqrt{5+2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$≤$\sqrt{6}$，
则$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≤$\frac{1}{2}$，
下面证明：$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$可以取得$\frac{1}{2}$，
（1）若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$+$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|，则显然满足条件．
（2）若|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|，此时|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|²=|$\overrightarrow{a}$|²+|$\overrightarrow{b}$|²-2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=5-1=4，
此时|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2于是|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$|+|$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|=|$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{e}$-$\overrightarrow{b}$•$\overrightarrow{e}$|x≤2，符号题意，
综上$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值是$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查平面向量数量积的应用，根据绝对值不等式的性质以及向量三角形不等式的关系是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．