Question

设实数x＞0，n∈N^*，e是自然对数的底数．
（1）证明：（1-x）e^x＜1＜e^x-x；
（2）若数列{a_n}满足：a_n＞0且ean+1=ean-1，证明：{a_n}在定义域内是递减数列．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,数列的应用

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）令f（x）=1-（1-x）e^x，g（x）=e^x-x-1，对二函数分别利用导数法判断其单调性，即可证得：（1-x）e^x＜1＜e^x-x；
（2）利用等差数列的概念可知数列{ean}是公差为-1的等差数列，可求得其通项公式，利用复合函数的单调性即可证得{a_n}在定义域内是递减数列．

解答： 证明：（1）令f（x）=1-（1-x）e^x，g（x）=e^x-x-1，
①f（x）=1+（x-1）e^x，
f′（x）=e^x+（x-1）e^x=xe^x，
因为x＞0，所以f′（x）＞0，即f（x）在（0，+∞）上严格单调递增，
又f（0）=1-1=0，
所以当x＞0时，f（x）＞0，
即（1-x）e^x＜1．
②g′（x）=e^x-1，
因为x＞0时，e^x＞1，所以g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上严格单调递增，
又g（0）=1-1=0，
所以当x＞0时，g（x）＞0，
即1＜e^x-x，
综上所述，（1-x）e^x＜1＜e^x-x．
（2）因为ean+1=ean-1，所以数列{ean}是公差为-1的等差数列，又a_n＞0，
因为ean=ea1+（n-1）×（-1）=1+ea1-n＞0，
所以a_n=ln（1+ea1-n），由于y=lnx为增函数，y=1+ea1-n为减函数，
由复合函数的单调性得，a_n=ln（1+ea1-n）为定义域上是减函数．

点评：本题考查导数判断函数的单调性及复合函数单调性的证明，着重考查构造函数的思想与推理证明能力，考查转化思想．