Question

设函数f（x）的定义域为[-2，2]，对于任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0，
（1）求证：函数f（x）在[-2，2]上是增函数；
（2）f（1-m）+f（1-m²）＞0的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先利用特殊值法，得f（0）=0，然后令y=-x可证f（x）为奇函数，则有f（-x）=-f（x），利用定义法进行证明；
（2）利用函数的奇偶性和单调性去掉函数符号，转化为不等式求解，注意函数的定义域．

解答： 解：（1）证明：：令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）为定义在为[-2，2]上的奇函数，
令-2≤x₁＜x₂≤2，
则有f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x）在[-2，2]上为单调递增函数；
（2）由题意f（1-m）+f（1-m²）＞0，得f（1-m）＞-f（1-m²），
∵函数为定义在为[-2，2]上的奇函数，
∴f（1-m）＞f（m²-1），
又∵函数为定义在为[-2，2]上的增函数，
∴

1-m＞m2-1 -2≤1-m≤2 -2≤m2-1≤2

，解得-1≤m＜1．

点评：考查抽象函数及其应用，以及利用函数单调性的定义判断函数的单调性，并根据函数的单调性解函数值不等式，体现了转化的思想，在转化过程中一定注意函数的定义域．