Question

在平面直角坐标系中，圆Q交x轴于点A，B，交y轴于点C，D，直径EF∥y轴，
（1）若点A，B坐标分别为（-4，0）、（2，0）直径为10，求圆心Q，点C、D的坐标；
（2）点P为直径EF上一动点（不与E，F重合）过点P作弦MN，若∠EPM=45°，求

PM2+PN2

EF2

的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：直线与圆

分析：（1）∵点A，B坐标分别为（-4，0）、（2，0），可设圆心Q（-1，b）．由于直径=10，可得

32+b2

=5，解得b=±4．可得圆的方程为（x+1）²+（y±4）²=25．
令x=0，即可解出．
（2），过圆心Q作QG⊥MN，利用垂经定理与勾股定理可得GP=GQ，GM²+GQ²=MQ2=

1

4

EF2．即可得出

PM2+PN2

EF2

=

( 1 2 MN+GP)2+( 1 2 MN-GP)2

EF2

．

解答： 解：（1）∵点A，B坐标分别为（-4，0）、（2，0），
可设圆心Q（-1，b），
∵直径=10，
∴

32+b2

=5，解得b=±4．
∴圆的方程为（x+1）²+（y±4）²=25．
令x=0，解得C（0，4+2

6

），D(0，4-2

6

)；C(0，-4+2

6

)，D(0，-4-2

6

)．
（2）如图所示，过圆心Q作QG⊥MN，
则QG平分MN，
∵∠GPQ=45°，
∴GP=GQ．
又GM²+GQ²=MQ2=

1

4

EF2．
∴

PM2+PN2

EF2

=

( 1 2 MN+GP)2+( 1 2 MN-GP)2

EF2

=

2[( 1 2 MN)2+GP2]

EF2

=

2× 1 4 EF2

EF2

=

1

2

．
∴

PM2+PN2

EF2

=

1

2

．

点评：本题考查了圆的标准方程及其性质、垂经定理、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于难题．