Question

已知函数f（x）=-9^x+3^x+1+4．
（1）求函数f（x）的零点；
（2）当x∈[0，1]时，求函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：指数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：利用换元法，转化为二次函数，利用配方法，根据函数的定义域，即可求得函数f（x）零点和x∈[0，1]时函数的值域．

解答： 解：f（x）=-9^x+3^x+1+4=-（3^x）²+3×3^x+4，
令t=3^x，（t＞0），则y=-t²+3t+4，
（1）由-t²+3t+4=0得：
t=4或t=-1（舍）
所以3^x=4，x=log₃4，
所以函数的零点是log₃4，
（2）当x∈[0，1]时，t∈[1，3]，
因为函数y=-t²+3t+4的对称轴是t=

3

2

，
所以y∈[4，

25

4

]，
即函数f（x）的值域为[4，

25

4

]，

点评：本题考查函数值域的求解，考查换元法的运用，解题的关键是换元转化为二次函数求值域问题．