Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中点．
（1）求证：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

Answer 1

证明：（1）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴CD⊥PA
又CD⊥AC，PA∩AC=A，PA，AC?面PAC
故CD⊥面PAC
又∵AE⊆面PAC，
故CD⊥AE…（4分）
又PA=AC，E是PC的中点，故AE⊥PC
∵CD∩PC=C，CD，PC?面PCD
从而AE⊥面PCD，
∵PD?面PCD
故AE⊥PD
易知BA⊥PD，
故PD⊥面ABE…（6分）
（2）如图建立空间直角坐标系，设AC=a，
则A（0，0，0）、P（0，0，a）、B（a，0，0）、D(0，

2a

3

，0)，C(

a

2

，

3 a

2

，0)，
从而

PD

=(0，

2a

3

，-a)，

DC

=(

a

2

，-

3 a

6

，0)，…（9分）
设

n1

=(x，y，z)为平面PDC的法向量，
则

n1 • PD = 2a 3 y-az=0 n1 • DC = a 2 x- 3 a 6 y=0

⇒可以取

n1

=(1，

3

，2)…（11分）
又

n2

=(1，0，0)为平面PAD的法向量，
若二面角A-PD-C的平面角为θ
则|cosθ|=

1

| n1 |•| n2 |

=

1

8

…（11分）
因此sinθ=

14

4

．…（12分）