Question

已知函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx．求
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的单调递减区间；
（3）函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最值．

Answer 1

分析：（1）先对函数f(x)=2cos2x+2

3

sinxcosx利用三角恒等变换公式进行化简，再利用周期公式求周期；
（2）根据化简后的三角函数解析式，令2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，从中解出x的取值范围，即可得到函数的单调递减区间；
（3）由x∈[0，

π

2

]得出2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]的取值范围，然后再由正弦函数的性质求出sin(2x+

π

6

)的取值范围，即可得到函数f（x）在区间[0，

π

2

]上的最值．

解答：解：f(x)=cos2x+1+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)+1（4分）
（1）最小正周期T=

2π

2

=π；                                （6分）
（2）当2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，即kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

k∈Z时，
函数f（x）单调递减，
所以函数f（x）的单调递减区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]k∈Z．  （10分）
（3）∵x∈[0，

π

2

]，∴2x+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]
∴f(x)max=f(

π

6

)=3，f(x)min=f(

π

2

)=0．               （14分）

点评：本题考查三角恒等变换的应用，解题的关键是熟练掌握三角恒等变换公式，利用公式对函数解析式进行化简，熟记三角函数周期的求法，单调区间的求法及最值的求法，本题是高考中对三角函数知识考查的常见题型，一般出现在高考试卷的第十七题的位置，属于中档题．