Question

在数列{a_n}中，已知a₁=3，a_n-1-a_n=

1

3

na_n-1a_n，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知得

1

an

-

1

an-1

=

1

3

n，n≥2，从而

1

an

=

1

an

-

1

an-1

+

1

an-1

-

1

an-2

+…+

1

a3

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a1

+

1

a1

，由此利用累加法和等差数列通项公式求出

1

an

=

n(n+1)

6

，从而能求出a_n=

6

n(n+1)

．

解答： 解：∵a₁=3，a_n-1-a_n=

1

3

na_n-1a_n，
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

3

n，n≥2，
∴

1

an

=

1

an

-

1

an-1

+

1

an-1

-

1

an-2

+…+

1

a3

-

1

a2

+

1

a2

-

1

a1

+

1

a1

=

1

3

[n+（n-1）+（n-2）+…+3+2+1]
=

1

3

×

n(n+1)

2

=

n(n+1)

6

，
∴a_n=

6

n(n+1)

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法的合理运用．