Question

设数列{a_n}满足a_n≠0，a₁=1，a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1（n≥2），数列{a_n}的前n项和为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：当n≥2时，

n

n+1

＜Sn＜2；
（3）试探究：当n≥2时，是否有

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

？说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题可得a_n=（1-2n）a_na_n-1+a_n-1，两边同时除以a_na_n-1可得

1

an

-

1

an-1

=2n-1，所以

1

an

=

1

a1

+(

1

a2

-

1

a1

)+(

1

a3

-

1

a2

)+…+(

1

an

-

1

an-1

)进而得到答案．
（2）根据数列的通项公式得特征可得：

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

，

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，进而通过放缩法证明原不等式．
（3）根据所证不等式的特征可得：

1

n2

=

4

4n2

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，利用放缩法可得Sn＜

5

3

；由（2）可得只需证明

n

n+1

＞

6n

(n+1)(2n+1)

即可，
即证明2n+1＞6成立即可，显然经过验证可得此不等式正确．

解答：解：（1）∵a_n≠0
∴a_na_n-1≠0（n≥2）
∴

an

anan-1

=

(1-2n)anan-1

anan-1

+

an-1

anan-1

，
即

1

an-1

=(1-2n)+

1

an

即有

1

an

-

1

an-1

=2n-1，
∴

1

an

=

1

a1

+(

1

a2

-

1

a1

)+(

1

a3

-

1

a2

)+…+(

1

an

-

1

an-1

)=1+3+5+7+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n2（n≥2）
又

1

a1

=1也适合上式，
∴an=

1

n2

．
（2）证明：∵an=

1

n2

∴Sn=a1+a2+…+an=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

∵当n≥2时，

1

n2

＜

1

(n-1)n

=

1

n-1

-

1

n

∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n+1

)]=2-

1

n+1

＜2．
又∵

1

n2

＞

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴Sn＞(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=1-

1

n+1

=

n

n+1

∴当n≥2时，

n

n+1

＜Sn＜2．
（3）∵

1

n2

=

4

4n2

＜

4

(2n-1)(2n+1)

=2(

1

2n-1

-

1

2n+1

)
∴1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+2[(

1

3

-

1

5

)+(

1

5

-

1

7

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]
=

5

3

-

2

2n+1

＜

5

3

当n≥2时，要Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

只需

n

n+1

＞

6n

(n+1)(2n+1)

即需2n+1＞6，显然这在n≥3时成立
而S2=1+

1

4

=

5

4

，当n≥2时

6n

(n+1)(2n+1)

=

6×2

(2+1)(4+1)

=

4

5

显然

5

4

＞

4

5

即当n≥2时Sn＞

6n

(n+1)(2n+1)

也成立
综上所述：当n≥2时，有

6n

(n+1)(2n+1)

＜Sn＜

5

3

．

点评：本题出现的问题是求通项求和过程中的运算不过关，解决与数列有关的不等式问题时一般利用的方法是放缩法．