Question

如图所示，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA＝AD＝a，M，N分别是AB，PC的中点．

(1)求平面PCD与平面ABCD所成二面角的大小；

(2)求证：MN⊥平面PCD；

(3)当AB的长度变化时，求异面直线PC与AD所成角的可能范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)PA⊥平面ABCD，CD⊥AD，∴PD⊥CD． 　　故∠PDA是平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角． 　　在Rt△PAD中，PA⊥AD，PA＝AD，∴∠PDA＝45°．　　3分 　　(2)如图所示，取PD中点E，连结AE，EN，又M，N分别是AB，PC的中点， 　　∴EN∥CD∥AB 　　∴AMNE是平行四边形 　　∴MN∥AE． 　　在等腰Rt△PAD中，AE是斜边的中线．∴AE⊥PD． 　　又CD⊥AD，CD⊥PD 　　∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AE， 　　又PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD．∴MN⊥平面PCD．　　7分 　　(3)∵AD∥BC，∴∠PCB为异面直线PC，AD所成的角． 　　由三垂线定理知PB⊥BC，设AB＝x(x＞0)． 　　∴ 　　又∵∈(0，∞)，∴tan∠PCB∈(1，＋∞)． 　　又∠PCB为锐角，∴∠PCB∈(，)， 　　即异面直线PC，AD所成的角的范围为．　　12分