Question

已知函数f（x）=mx²-2x+1+ln（x+1）（m≥1），
（1）求y=f（x）在点P（0，1）处的切线方程；
（2）设g（x）=f（x）+x-1仅有一个零点，求实数m的值；
（3）试探究函数f（x）是否存在单调递减区间？若有，设其单调区间为[t，s] ，试求s-t的取值范围？若没有，请说明理由。

Answer 1

解：（1）∵点P在函数y=f（x）上，
由f x）=得：，
故切线方程为：y=-x+1；
（2）由g（x）=f（x）+x-1＝可知：定义域为（-1，+∞），
且g（0）=0，显然x=0为y=g（x）的一个零点；
则，
①当m=1时，，
即函数y=g（x）在（-1，+∞）上单调递增，g（0）=0，
故仅有一个零点，满足题意；
②当m>1时，则，列表分析：

∵x→-1时，g（x）→-∞，
∴g（x）在上有一根，这与y=g（x）仅有一根矛盾，故此种情况不符题意；
（3）假设y=f（x）存在单调区间，
由f（x）=得：
，
令，
∵，h（-1）＝m+2-m-1＝1＞0，
∴h（x）=0在（-1，+∞）上一定存在两个不同的实数根s，t，
的解集为（t，s），
即函数f（x）存在单调区间[t，s]，
则s-t=，
由m≥1可得：s-t。