Question

14．如图，在棱长为a的正方形OABC-O₁A₁B₁C₁中，点E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE=BF．
（Ⅰ）求证：A₁F⊥C₁E；
（Ⅱ）当三棱锥B₁-EFB的体积取得最大值时，求二面角B-B₁E-F的正切值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）以B为原点，BA、BC、BB₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz，利用向量法能证明A₁F⊥C₁E．
（Ⅱ）V_B1-EFB=$\frac{1}{3}$S_△BEF•BB₁=$\frac{a}{6}$m（a-m）≤$\frac{a3}{24}$，当m=$\frac{a}{2}$时，V_B1-EFB取最大值，求出平面B₁EF的一个法向量和平面BB₁E的一个法向量，由此能求出二面角B-B₁E-F的正切值．

解答 证明：（Ⅰ）如图，以B为原点，BA、BC、BB₁分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz
设AE=BF=m （0≤m≤a），则E（0，a-m，0），
C₁（a，0，a），A₁（0，a，a），
F（m，0，0），…（2分）
∴$\overrightarrow{A1F}$=（m，-a，-a），
$\overrightarrow{C1E}$=（-a，a-m，-a），…（4分）
∴$\overrightarrow{A1F}$•$\overrightarrow{C1E}$=-am-a²+am+a²=0，
∴A₁F⊥C₁E．…（6分）
解：（Ⅱ）∵BB₁⊥平面EFB，∴V_B1-EFB=$\frac{1}{3}$S_△BEF•BB₁=$\frac{a}{6}$m（a-m）≤$\frac{a3}{24}$，
当且仅当m=$\frac{a}{2}$时，V_B1-EFB取最大值．…（8分）
此时，E（0，$\frac{a}{2}$，0），F（$\frac{a}{2}$，0，0），B₁（0，0，a）
$\overrightarrow{{B}_{1}E}$=（0，$\frac{a}{2}$，-a），$\overrightarrow{{B}_{1}F}$=（$\frac{a}{2}$，0，-a）
设平面B₁EF的一个法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则有$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}E}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{B}_{1}F}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}\frac{a}{2}y-az=0\\ \frac{a}{2}x-az=0\end{array}$
令x=2，则y=2，z=1，得$\overrightarrow{m}$=（2，2，1），
取平面BB₁E的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（1，0，0），
则cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{3}$…（10分）
二面角B-B₁E-F的正切值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．