Question

17．已知e为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率，点（1，e）和$（e\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$都在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若过点M（2，0）的直线l与椭圆相交于A、B点，在直线x+y-1=0存在点P，使得$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OP}$（O为坐标原点），求直线l的方程．

Answer 1

分析 （I）通过点（1，e）在椭圆上，以及离心率结合a、b、c关系，求解即可得到椭圆方程．
（II）设AB的方程为y=k（x-2），联立直线与椭圆的方程组，利用判别式求出k的范围，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），利用韦达定理以及$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OP}$，结合P点在直线x+y-1=0上，即可求出k的值，得到直线l的方程．

解答 解：（I）由题设知，${a^2}={b^2}+{c^2}，e=\frac{c}{a}$，由点（1，e）在椭圆上，
得$\frac{1}{a^2}+\frac{c^2}{{{a^2}{b^2}}}=1$，∴b²=1，c²=a²-1，…（2分）
由点$（e\;，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$在椭圆上，得$\frac{c^2}{a^4}+\frac{{{{（\frac{{\sqrt{3}}}{2}）}^2}}}{1}=1$，即$\frac{{{a^2}-1}}{a^4}+\frac{3}{4}=1$，a²=2，
∴椭圆C的方程是$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$；…（4分）
（II）∵点M（2，0）在椭圆外，∴直线AB的斜率存在，设AB的方程为y=k（x-2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（x-2）}\\{\frac{x^2}{2}+{y^2}=1}\end{array}}\right.$，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，△=64k⁴-4（1+2k²）（8k²-2）＞0，得${k^2}＜\frac{1}{2}$，即$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜k＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x₀，y₀），则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{1+2{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{8{k^2}-2}}{{1+2{k^2}}}$，
∵$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{OP}$，即$（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）=\frac{4}{3}（{x_0}，{y_0}）$，…（8分）
∴${x_0}=\frac{{3（{x_1}+{x_2}）}}{4}=\frac{{6{k^2}}}{{1+2{k^2}}}$，${y_0}=\frac{{3（{y_1}+{y_2}）}}{4}=\frac{{3[k（{x_1}+{x_2}）-4k]}}{4}=-\frac{3k}{{1+2{k^2}}}$，
∵P点在直线x+y-1=0上，∴$\frac{{6{k^2}}}{{1+2{k^2}}}-\frac{3k}{{1+2{k^2}}}-1=0$，解得$k=-\frac{1}{4}$，或k=1，
∵$-\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜k＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，∴$k=-\frac{1}{4}$，
∴直线l的方程是$y=-\frac{1}{4}（x-2）$．   …（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系，椭圆方程的求法，向量的共线条件的应用，考查分析问题解决问题的能力．