Question

12．在直角坐标系xOy中，已知点P（1，-2），直线l的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2+\sqrt{3}t\end{array}\right.$（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程是$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并写出圆心的极坐标
（Ⅱ）若直线l与圆C交于M、N两点，求|MP|+|NP|的值．

Answer 1

分析 （I）利用两角和与差的三角函数展开极坐标方程，然后化为圆C的直角坐标方程，求出圆心的直角坐标为（1，-1），极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$．
（II）化简直线l的参数方程为标准形式，代入圆的方程，利用参数方程的几何意义，求解即可．

解答 解：（I）∵$ρ=2\sqrt{2}cos（θ+\frac{π}{4}）$，
∴ρ²=2ρcosθ-2ρsinθ，∴x²+y²=2x-2y，
∴圆C的直角坐标方程为：（x-1）²+（y+1）²=2，
圆心的直角坐标为（1，-1），极坐标为$（\sqrt{2}，\frac{7π}{4}）$；…（5分）
（II）直线l的参数方程可写为：$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{1}{2}t\\ y=-2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\end{array}\right.$（t为参数），
代入圆C的直角坐标方程中得：${t^2}-\sqrt{3}t-1=0$，
设M、N两点所对应的参数分别为t₁、t₂，则$\left\{\begin{array}{l}{t_1}+{t_2}=\sqrt{3}\\{t_1}{t_2}=-1\end{array}\right.$，
∴$|MP|+|NP|=|{t_1}|+|{t_2}|=|{t_1}-{t_2}|=\sqrt{{{（{t_1}+{t_2}）}^2}-4{t_1}{t_2}}=\sqrt{7}$．…（10分）

点评 本题考查极坐标与参数方程与普通方程的互化，参数方程的几何意义，考查计算能力．