Question

4．若△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=$\frac{2π}{3}$，b=1，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，则$\frac{a+b}{sinA+sinB}$的值为2$\sqrt{7}$．．

Answer 1

分析 由已知及三角形面积公式可求c，再由余弦定理可求a，由正弦定理可求sinB，即可代入求解．

解答 解：∵A=$\frac{2π}{3}$，b=1，且△ABC的面积为$\sqrt{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cosA=-$\frac{1}{2}$，$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}×1×c×\frac{\sqrt{3}}{2}$，可解得：c=4，
∴由余弦定理可得：a²=b²+c²-2bccosA=1+16+4=21，可得a=$\sqrt{21}$，
∴由正弦定理可得：sinB=$\frac{bsinA}{a}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{21}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}$，
∴$\frac{a+b}{sinA+sinB}$=$\frac{\sqrt{21}+1}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理的应用，属于基本知识的考查．