Question

16．设f′（x）为f（x）的导函数，f″（x）是f′（x）的导函数，如果f（x）同时满足下列条件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x₀-?，x₀）单调递增，在区间（x₀，x₀+?）单调递减．则称x₀为f（x）的“上趋拐点”；
如果f（x））同时满足下列条件：①存在x₀，使f″（x₀）=0；②存在?＞0，使f′（x）在区间（x₀-?，x₀）单调递减，在区间（x₀，x₀+?）单调递增．则称x₀为f（x）的“下趋拐点”．给出以下命题，其中正确的是①③④（只写出正确结论的序号）
①0为f（x）=x³的“下趋拐点”；
②f（x）=x²+e^x在定义域内存在“上趋拐点”；
③f（x）=e^x-ax²在（1，+∞）上存在“下趋拐点”，则a的取值范围为（$\frac{e}{2}$，+∞）；
④f（x）=$\frac{1}{a}$e^ax$-\frac{1}{2}$x²（a≠0），x₀是f（x）的“下趋拐点”，则x₀＞1的必要条件是0＜a＜1．

Answer 1

分析 ①求导f′（x）=3x²，f″（x）=6x；令f″（x）=6x=0解得x=0；再判断单调性从而可得0为f（x）=x³的“下趋拐点”；
②求导f′（x）=2x+e^x，f″（x）=2+e^x；易知f′（x）=2x+e^x在R上是增函数，故f（x）=x²+e^x在定义域内不存在“上趋拐点”；
③求导f′（x）=e^x-2ax，f″（x）=e^x-2a，可判断f″（x）=e^x-2a在定义域上是增函数，从而问题转化为f″（1）=e-2a＜0，从而解得；
④求导f′（x）=e^ax-x，f″（x）=a•e^ax-1；从而可得a•${e}^{a{x}_{0}}$-1=0，即x₀=$\frac{-lna}{a}$；从而可得$\frac{-lna}{a}$＞1，从而解得．

解答 解：①f（x）=x³，f′（x）=3x²，f″（x）=6x；
令f″（x）=6x=0解得，x=0；
取?=1，则易知f′（x）=3x²在区间（-1，0）单调递减，在区间（0，1）单调递增．
故0为f（x）=x³的“下趋拐点”，故①正确；
②f（x）=x²+e^x，f′（x）=2x+e^x，f″（x）=2+e^x；
易知f′（x）=2x+e^x在R上是增函数，
故f（x）=x²+e^x在定义域内不存在“上趋拐点”，故②是假命题；
③f（x）=e^x-ax²，f′（x）=e^x-2ax，f″（x）=e^x-2a；
易知f″（x）=e^x-2a在定义域上是增函数，
故f（x）=e^x-ax²在（1，+∞）上存在“下趋拐点”可化为
f″（1）=e-2a＜0，
解得，a＞$\frac{e}{2}$；故③正确；
④f（x）=$\frac{1}{a}$e^ax$-\frac{1}{2}$x²，f′（x）=e^ax-x，f″（x）=a•e^ax-1；
∵x₀是f（x）的“下趋拐点”，
∴a•${e}^{a{x}_{0}}$-1=0，
∴x₀=$\frac{-lna}{a}$；
∴$\frac{-lna}{a}$＞1，
∴0＜a＜1；故④正确；
故答案为：①③④．

点评 本题考查了导数的综合应用及学生对新定义的理解与掌握，属于难题．