Question

4．若复数z₁满足（z₁-z）（1+i）=1-i（i为虚数单位），复数z₂的虚部为2，z₁•z₂是实数．
（1）求z₂
（2）若|z|=1，求|z-z₂|的最小值．

Answer 1

分析 （1）由（z₁-2）（1+i）=1-i，解得z₁=2-i，设z₂=a+2i，a∈R，则z₁z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i，由z₁•z₂∈R，能求出z₂；
（2）利用复数模的几何意义数形结合得答案．

解答 解：（1）∵（z₁-2）（1+i）=1-i，
∴z₁-2=$\frac{1-i}{1+i}=\frac{（1-i）^{2}}{（1+i）（1-i）}=\frac{-2i}{2}=-i$，
∴z₁=2-i，
设z₂=a+2i，a∈R，
则z₁z₂=（2-i）（a+2i）=（2a+2）+（4-a）i，
∵z₁•z₂∈R，
∴a=4，
∴z₂=4+2i；
（2）∵|z|=1，如图，

∴|z-z₂|的最小值为$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}-1=2\sqrt{5}-1$．

点评 本题考查复数的代数形式的混合运算，考查了复数模的求法，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题．