Question

13．数列{a_n}中，a₁=1，a₂=r＞0，数列{a_na_n+1}为公比为q（q＞0）的等比数列，数列{b_n}中，b_n=a_2n-1+a_2n
（1）求使a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3成立的公比q的取值范围；
（2）求{b_n}的通项
（3）若r=2^19.2-1，q=$\frac{1}{2}$，求数列{$\frac{lo{g}_{2}{b}_{n+1}}{lo{g}_{2}{b}_{n}}$}的最大项和最小项．

Answer 1

分析 （1）由a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，知rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q² 即：q²-q-1＜0，可得q的取值范围；
（2）由数列{a_na_n+1}是公比为q的等比数列，知$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，由此能求出b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）由b_n=（1+r）q^n-1，知$\frac{lo{g}_{2}{b}_{n+1}}{lo{g}_{2}{b}_{n}}$=1+$\frac{1}{n-20.2}$，由此能求出数列{$\frac{lo{g}_{2}{b}_{n+1}}{lo{g}_{2}{b}_{n}}$}的最大值和最小值．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足条件：a₁=1，a₂=r，
且数列{a_na_n+1}是公比为q的等比数列，
∴q≠0，r≠0，且a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，
∵a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，
∴rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q²
即：q²-q-1＜0，
∵q＞0，
∴0＜q＜$\frac{1+\sqrt{5}}{2}$．
（2）∵数列{a_na_n+1}是公比为q的等比数列，
∴$\frac{{a}_{n+1}{a}_{n+2}}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n}}$=q，
∵a₁=1，
∴当n=2k-1时，a_n=q^k-1
∵a₂=r，
∴当n=2k时，a_n=rq^k-1．
∵b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N），
∴b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）∵b_n=（1+r）q^n-1，
∴$\frac{lo{g}_{2}{b}_{n+1}}{lo{g}_{2}{b}_{n}}$=1+$\frac{1}{n-20.2}$，
记C_n=$\frac{lo{g}_{2}{b}_{n+1}}{lo{g}_{2}{b}_{n}}$，
当n-20.2＞0，即n＞21，n∈N⁺时，C_n随n的增大而减小，
∴1＜C_n≤C₂₁=$\frac{9}{4}$．
当n-20.2＜0，即n≤20，n∈N⁺时，C_n随n的增大而减小，
∴1＞C_n≥C₂₀=-4．
综上所述，对任意的自然数n，有C₂₀≤C_n≤C₂₁，
∴数列{$\frac{lo{g}_{2}{b}_{n+1}}{lo{g}_{2}{b}_{n}}$}中，n=21时，取最大值，n=20时，取最小值-4

点评 本题考查数列的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．