Question

7．已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F与双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右顶点重合，抛物线与直线l：y=k（x-2）（k≠0）交于A、B两点，AF、BF的延长线与抛物线交于C、D两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线CD恒过一定点．

Answer 1

分析 （1）由已知得双曲线的右顶点（1，0），即有抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F（1，0），由此能求出抛物线的方程；
（2）设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得ky²-4y-8k=0，由此利用根的判别式、韦达定理、向量知识能求出CD直线恒过定点．

解答 （1）解：由双曲线x²-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右顶点为（1，0），
即有抛物线：y²=2px（p＞0）的焦点F为（1，0），
即有抛物线的方程为y²=4x．
（2）证明：设A（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$，y₁），B（$\frac{{{y}_{2}}^{2}}{4}$，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=k（x-2）}\end{array}\right.$，得ky²-4y-8k=0，
△=16+32k²＞0，y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=-8，
设C（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$，y₃），则$\overrightarrow{FA}$=（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-1，y₁），$\overrightarrow{FC}$=（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$-1，y₃），
∵A，F，C共线，∴（$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{4}$-1）y₃=（$\frac{{{y}_{3}}^{2}}{4}$-1）y₁，
∴（y₁-y₃）（$\frac{{y}_{1}{y}_{3}}{4}$+1）=0，
解得y₃=y₁（舍），或y₃=-$\frac{4}{{y}_{1}}$，
∴C（$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$，-$\frac{4}{{y}_{1}}$），同理，D（$\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}$，-$\frac{4}{{y}_{2}}$），
∴CD的方程为y+$\frac{4}{{y}_{1}}$=$\frac{\frac{-4}{{y}_{1}}+\frac{4}{{y}_{2}}}{\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}-\frac{4}{{{y}_{2}}^{2}}}$（x-$\frac{4}{{{y}_{1}}^{2}}$），
即y=-$\frac{{y}_{1}{y}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$x-$\frac{4}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，即y=2k（x-$\frac{1}{2}$），
故CD直线恒过定点（$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查抛物线方程的求法，考查直线恒过定点的证明，解题时要认真审题，注意双曲线、抛物线、直线方程等知识点的合理运用．