Question

【题目】已知函数f（x）=lnx+x+ ．
（Ⅰ）若a=﹣2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥a+1在（0，+∞）上恒成立，求a的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，f（x）=lnx+x﹣ ，∴f′（x）= ， ∴f′（1）=4，又f（1）=﹣1，
∴所求切线方程为4x﹣y﹣5=0．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a﹣1=lnx+x+ ﹣a﹣1，
则 = ，
①当a≤0时，g′（x）＞0，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵g（1）=0，∴当x∈（0，1）时，g（x）＜0，
故不满足题意．
②当a＞0时，由g′（x）=0，得x2+x﹣a=0，此方程有唯一正根x0 ， ∴a= ，（*）
当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x	（0，x0）	x0	（x0 ， +∞）
g′（x）	﹣	0	+
g（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴g（x）min=g（0）= = = ，
要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，需且只需g（x）min= ≥0，①
令μ（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，
则 = ，
当x变化时，μ′（x），μ（x）的变化情况如下表：

x	（0，1）	1	（1，+∞）
μ′（x）	+	0	﹣
μ（x）	单调递增	极大值	单调递减

∴μmax=μ（1）=0，即lnx0﹣x02+x0≤0，②
由①②得lnx0﹣x02+x0=0，∴x0=1，
结合（*）得a= ，
综上所述，a=2
【解析】（Ⅰ）由已知得f（x）=lnx+x﹣ ，从而f′（x）= ，利用导数的几何意义能求出切线方程．（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣a﹣1=lnx+x+ ﹣a﹣1，则 = ，由a≤0和a＞0分类讨论，得到要使g（x）≥0对任意正数x恒成立，需且只需g（x）min= ≥0，令μ（x）=lnx﹣x2+x，x＞0，则 = ，利用导数性质列表讨论经，得到lnx0﹣x02+x0≤0，由此能求出a．