Question

已知函数f(x)=lnx-

1

2

ax2+(a-1)x（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x₀，y₀），使得：①x0=

x1+x2

2

；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

Answer 1

分析：（I）根据对数函数的定义求得函数的定义域，再根据f（x）的解析式求出f（x）的导函数，然后分别令导函数大于0和小于0得到关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到相应的x的范围即分别为函数的递增和递减区间；
（II）假设函数f（x）的图象上存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），使得AB存在“中值相依切线”，根据斜率公式求出直线AB的斜率，利用导数的几何意义求出直线AB的斜率，它们相等，再通过构造函数，利用导数研究函数的单调性和最值即可证明结论．

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞）．…（1分）
由已知得，f′(x)=

1

x

-ax+a-1=-

a(x-1)(x+ 1 a )

x

．…（2分）
（1）当a＞0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1； 令f'（x）＜0，解得x＞1．
所以函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．…（3分）
（2）当a＜0时，
①当-

1

a

＜1时，即a＜-1时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜-

1

a

或x＞1；
令f'（x）＜0，解得-

1

a

＜x＜1．
所以，函数f（x）在(0，-

1

a

)和（1，+∞）上单调递增，在(-

1

a

，1)上单调递减；…（4分）
②当-

1

a

=1时，即a=-1时，显然，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； …（5分）
③当-

1

a

＞1时，即-1＜a＜0时，令f'（x）＞0，解得0＜x＜1或x＞-

1

a

；
令f'（x）＜0，解得1＜x＜-

1

a

．
所以，函数f（x）在（0，1）和(-

1

a

，+∞)上单调递增，在(1，-

1

a

)上单调递减．…（6分）
综上所述，（1）当a＞0时，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
（2）当a＜-1时，函数f（x）在(0，-

1

a

)和（1，+∞）上单调递增，在(-

1

a

，1)上单调递减；
（3）当a=-1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（4）当-1＜a＜0时，函数f（x）在（0，1）和(-

1

a

，+∞)上单调递增，在(1，-

1

a

)上单调递减．…（7分） 
（Ⅱ）假设函数f（x）存在“中值相依切线”．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线y=f（x）上的不同两点，且0＜x₁＜x₂，
则y1=lnx1-

1

2

ax12+(a-1)x1，y2=lnx2-

1

2

ax22+(a-1)x2．
kAB=

y2-y1

x2-x1

=

(lnx2-lnx1)- 1 2 a(x22-x12)+(a-1)(x2-x1)

x2-x1

=

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+(a-1)…（8分）
曲线在点M（x₀，y₀）处的切线斜率k=f'（x₀）=f′(

x1+x2

2

)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)，…（9分）
依题意得：

lnx2-lnx1

x2-x1

-

1

2

a(x1+x2)+(a-1)=

2

x1+x2

-a•

x1+x2

2

+(a-1)．
化简可得：

lnx2-lnx1

x2-x1

=

2

x1+x2

，
即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

．…（11分）
设

x2

x1

=t（t＞1），上式化为：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，
即lnt+

4

t+1

=2．…（12分）
令g(t)=lnt+

4

t+1

，g′(t)=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

．
因为t＞1，显然g'（t）＞0，所以g（t）在（1，+∞）上递增，
显然有g（t）＞2恒成立．
所以在（1，+∞）内不存在t，使得lnt+

4

t+1

=2成立．
综上所述，假设不成立．所以，函数f（x）不存在“中值相依切线”．…（14分）

点评：此题考查学生会利用导函数的正负求出函数的单调区间，灵活运用中点坐标公式化简求值，掌握反证法进行命题证明的方法，是一道综合题，属难题．