Question

【题目】我国南北朝时间著名数学家祖暅提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是：夹在两平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任何平面所载，若截得的两个截面面积总相等，则这两个几何体的体积相等.为计算球的体积，构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后再圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，运用祖暅原理可证明此几何体与半球体积相等（任何一个平面所载的两个截面面积都相等）.将椭圆 绕 轴旋转一周后得一橄榄状的几何体，类比上述方法，运用祖暅原理可求得其体积等于（ ）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】分析：首先类比球的体积的求解方法构造出几何体，然后利用祖暅原理求解该几何体的体积即可.

详解：如图所示，椭圆的长半轴为4，短半轴为3.

现构造一个底面半径为3，高为4的圆柱，

然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，

圆柱上底面为底面的圆锥，当截面距离下底面的高度为h时，

设橄榄状的几何体对应的截面平径为R，圆柱对应截面的小圆半径为r，

则由可得，

则橄榄状的几何体对应的截面面积.

由相似可得：，即，

圆柱对应的截面的面积，

则，由祖暅原理可得几何体的体积为：

.

本题选择C选项.