Question

【题目】已知定义域为的函数是奇函数.

（1）求的值；

（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论.

（3）是否存在实数，对于任意，不等式恒成立，若存在，求出实数的取值范围，若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；

（2）为上的减函数；

（3）

【解析】

（1）因为为上的奇函数，所以，代入可求；

（2）由（1）可得，利用定义，任取，只要说明的符号即可判断；

（3）由不等式恒成立，及是上的奇函数且是上的减函数，可得对恒成立．由题意可得，，结合二次函数的性质先求出的最大值，即可求的范围．

（1）因为为上的奇函数，所以，

，

；

（2）为上的减函数．

任取，

，

，，，

，

，所以为上的减函数．

（3）若不等式恒成立，

，又为上的奇函数，

所以

又为上的减函数，所以对恒成立．

即对恒成立．

，，

设，其对称轴为，

时是增函数，

所以，

所以．