【题目】已知函数和
,
(Ⅰ)设,求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当时,
为函数
图象与函数
图象的公共点,且在点
处有公共切线,求点
的坐标及实数
的值.
【答案】(1)见解析;(2),
.
【解析】分析:(Ⅰ)对函数求导,得
,然后分
,
,
分三种情况讨论单调区间。
(Ⅱ)设点,由公切线可知在
处导数相等且函数值相等,得
,所以设函数
,由导数可求得
.。
详解:(Ⅰ),
(1)当时,
在时,
,函数
在
上单调递增,
在时,
,函数
在
单调递减;
在时,
,函数
在
上单调递增
(2)当时,在
时,
,函数
在
上单调递增
(3)当时,在
时,
,函数
在
上单调递增,
在时,
,函数
在
单调递减;
在时,
,函数
在
上单调递增
综上:
当时,函数
的单调递增区间是
和
;单调递减区间是
当时,函数
的单调增区间是
,
当时,函数
的单调递增区间是
和
;单调递减区间是
(Ⅱ)设点,在点
处有公切线,设切线斜率为
因,
所以,即
由是函数
与函数
图象的公共点,所以
,
化简可得
将代入,得
设函数
因为,
,函数
在
单调递减,
因为,
所以在时
只有一个零点
由
知方程在
只有一个实数根
代入:,
所以,此时:
.
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【题目】已知直线:
与直线
:
的距离为
,椭圆
:
的离心率为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)在(1)的条件下,抛物线:
的焦点
与点
关于
轴上某点对称,且抛物线
与椭圆
在第四象限交于点
,过点
作抛物线
的切线,求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.
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【题目】某地区某农产品近五年的产量统计如下表:
(Ⅰ)根据表中数据,建立关于
的线性回归方程
,并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量;
(Ⅱ)若近五年该农产品每千克的价格(单位:元)与年产量
(单位:万吨)满足的函数关系式为
,且每年该农产品都能售完.求年销售额
最大时相应的年份代码
的值,
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的计算公式:
,
.
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【题目】某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元。
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系式;
(2)该家庭现有20万元资金,全部用于理财投资,怎样分配资金才能获得最大收益?其最大收益为多少万元?
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【题目】下列结论中:
①定义在R上的函数f(x)在区间(-∞,0]上是增函数,在区间[0,+∞)上也是增函数,则函数f(x)在R上是增函数;②若f(2)=f(-2),则函数f(x)不是奇函数;③函数y=x-0.5是(0,1)上的减函数;④对应法则和值域相同的函数的定义域也相同;⑤若x0是二次函数y=f(x)的零点,且m<x0<n,那么f(m)f(n)<0一定成立.
写出上述所有正确结论的序号:_____.
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【题目】已知定义域为的函数
是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断函数在
上的单调性,并证明你的结论.
(3)是否存在实数,对于任意
,不等式
恒成立,若存在,求出实数
的取值范围,若不存在,说明理由.
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【题目】下列命题正确的有________(只填序号)
①若直线与平面有无数个公共点,则直线在平面内;
②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;
③若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;
④若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
⑤若平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,则直线a∥b.
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