[题目]如图.在正三棱柱中..P是的中点．(1)求平面将三棱柱分成的两部分的体积之比,(2)求平面与平面ABC所成二面角的正切值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，在正三棱柱中，，P是的中点．

（1）求平面将三棱柱分成的两部分的体积之比；

（2）求平面与平面ABC所成二面角的正切值．

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）设，分别求出，，即可得体积比；

（2）取的中点，连接，通过及，可得面，根据计算可得，不妨设，则，由题可得在面上的投影为，设平面与平面ABC所成二面角的大小为，求出，，可得，进而可得正切值.

解：（1）设，

则，

，

则平面将三棱柱分成的两部分的体积之比为；

（2）如图：取的中点，连接，

由已知得面面，又，

则面，又面，

，又，且，

则面，

，则，

，

，，

不妨设，则，

则，，

则，

，

由题可得在面上的投影为，

设平面与平面ABC所成二面角的大小为，

则，

所以平面与平面ABC所成二面角的正切值为.

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x	1	2	3	4	5
y(万人)	20	50	100	150	180

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（2）该公司为了吸引网购者，特别推出“玩网络游戏，送免费购物券”活动，网购者可根据抛掷骰子的结果，操控微型遥控车在方格图上行进. 若遥控车最终停在“胜利大本营”，则网购者可获得免费购物券500元；若遥控车最终停在“失败大本营”，则网购者可获得免费购物券200元. 已知骰子出现奇数与偶数的概率都是，方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格。遥控车开始在第0格，网购者每抛掷一次骰子，遥控车向前移动一次.若掷出奇数，遥控车向前移动一格（从到）若掷出偶数遥控车向前移动两格（从到），直到遥控车移到第19格胜利大本营）或第20格（失败大本营）时，游戏结束。设遥控车移到第格的概率为，试证明是等比数列，并求网购者参与游戏一次获得免费购物券金额的期望值.

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