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    【题目】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为，，点P在椭圆上，，椭圆的离心率.

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）A，B是椭圆C上与点P不重合的任意两点，若的重心是坐标原点O，试证明：的面积为定值，并求出该定值.

    【答案】（1）；（2）证明详见解析，该定值为.

    【解析】

    （1）根据待定系数法求出椭圆方程；

    （2）设直线的方程为，联立方程组求出弦长，求出P到的距离，得出三角形的面积关于m的函数，从而得出面积的最大值.

    （1）∵，∴，∴，

    ∵，∴，

    ∴，

    ∴椭圆C的标准方程为：；

    （2）最多只有1条边所在直线与x轴垂直，

    不妨设所在直线与x轴不垂直，其方程为

    （∵的重心是O，∴O不在直线上，）

    由得，

    设、，则

    ，

    且，，

    从而，

    设，∵的重心是坐标原点O，

    ∴，

    ∴，

    ，

    点在椭圆上，

    ∴

    即，且符合，

    点到直线的距离为：

    ，

    的面积，

    由即，得

    为常数.

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