Question

【题目】已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．

（1）若，求直线与轴的交点坐标；

（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

（1）直接求出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而可得直线方程，得其与轴交点坐标；

（2）设，则，求出直线和的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分和说明．

解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，

（1）由题知，，则．因为，所以，

则直线的方程为，联立，可得

故．则，直线的方程为．令，

得，故直线与轴的交点坐标为．

（2）证明：因为，，所以．设点，则．

设

当时，设，则，此时直线与轴垂直，

其直线方程为，

直线的方程为，即．

在方程中，令，得，得交点为，显然在椭圆上．

同理当时，交点也在椭圆上．

当时，可设直线的方程为，即．

直线的方程为，联立方程，

消去得，化简并解得．

将代入中，化简得．

所以两直线的交点为．

因为

，

又因为，所以，

则，

所以点在椭圆上．

综上所述，直线与直线的交点在椭圆上．