Question

3．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC（tanAtanC-1）=1．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若a+c=$\sqrt{15}$，b=$\sqrt{3}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，从而求出B的大小即可；
（Ⅱ）根据余弦定理求出ac的值，从而求出三角形的面积即可．

解答 解：（Ⅰ）由2cosAcosC（tanAtanC-1）=1，
得：2cosAcosC（$\frac{sinAsinC}{cosAcosC}$-1）=1，
∴2（sinAsinC-cosAcosC）=1，即cos（A+C）=-$\frac{1}{2}$，
∴cosB=-cos（A+C）=$\frac{1}{2}$，
又0＜B＜π，
∴B=$\frac{π}{3}$；
（Ⅱ）由b²=a²+c²-2accosB，得（a+c）²-3ac=b²，
又a+c=$\sqrt{15}$，b=$\sqrt{3}$，
∴ac=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了余弦定理的应用，考查三角形面积公式以及三角函数求值问题，是一道中档题．