Question

已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且有a₁=1，S_n+1=a_n+1（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

n

4an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（1）令n=1可求得a₂，n≥2时，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，兩式相减得到递推式，由递推式可判断数列为等比数列，注意检验n=1时情形；
（2）由（1）表示出b_n，运用错位相减法可求得T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，a₂=S₁+1=a₁+1=2；                      
当n≥2时，S_n+1=a_n+1，S_n-1+1=a_n，兩式相减得，a_n+1=2a_n，
又a₂=2a₁，
∴{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，
∴a_n=2^n-1．
（2）由（1）知a_n=2^n-1，
∴b_n=

n

4an

=

n

4•2n-1

=

n

2n+1

，
∴Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，

1

2

Tn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n-1

2n+1

+

n

2n+2

，
两式相减得，

1

2

Tn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

=

1 22 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+2

=

1

2

-

n+2

2n+2

，
∴Tn=1-

n+2

2n+1

．

点评：本题考查等差数列的通项公式、数列求和知识，考查学生的运算求解能力，属中档题，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．