Question

19．定义在N^*上的函数f（x）满足f（1）=1，且f（n+1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}f（n），n为偶数}\\{f（n），n为奇数}\end{array}\right.$，则f（22）=（　　）

• A． $\frac{1}{1024}$
• B． $\frac{1}{512}$
• C． $\frac{1}{2048}$
• D． 1

Answer 1

分析 由已知中定义在N^*上的函数f（x），满足f（1）=1且f（n+1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}f（n），n为偶数}\\{f（n），n为奇数}\end{array}\right.$，可以求出分段函数f（x）的解析式，将22代入即可得到f（22）的值．

解答 解：∵函数f（x）满足f（1）=1，且f（n+1）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}f（n），n为偶数}\\{f（n），n为奇数}\end{array}\right.$，
f（2）=$\frac{1}{2}$，f（3）=$\frac{1}{2}$，f（4）=$\frac{1}{4}$，f（5）=$\frac{1}{4}$，…，奇数项成等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{2}$，
偶数项是等比数列，首项为：$\frac{1}{2}$，公比$\frac{1}{2}$，
则f（n）=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{-\frac{n-1}{2}}，n为奇数\\{2}^{-（\frac{n}{2}-1）}，n为偶数\end{array}\right.$，
∴f（22）=${2}^{-（\frac{22}{2}-1）}$=2^-10=$\frac{1}{1024}$．
故选：A．

点评 本题考查的知识点是分段函数的解析式求法，及数列的递推公式，其中根据已知条件利用数列递推思想，得到分段函数f（x）的解析式，是解答本题的关键．