Question

已知点P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），…，P_n（a_n，b_n）（n为正整数）都在函数y=(

1

2

)x图象上．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，证明：数列{b_n}是等比数列；
（Ⅱ）设a_n=n（n为正整数），过点P_n，P_n+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为c_n，试求最小的实数t，使c_n≤t对一切正整数n恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由点在图象上，则有bn=(

1

2

)an，由等比数列的定义，则有

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d从而得到结论．
（Ⅱ）有a_n=n，则有bn=(

1

2

)n，则由Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，其斜率kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，求得直线P_nP_n+1的方程为，再分别求得与坐标轴的交点，建立面积模型cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，再由作差法判断数列的单调性，求得其最大值，从而解得t的范围．

解答：解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d，由已知bn=(

1

2

)an，（1分）
所以，

bn+1

bn

=(

1

2

)an+1-an=(

1

2

)d（常数），（3分）
所以，数列{b_n}是等比数列．（4分）
（Ⅱ）若a_n=n，则bn=(

1

2

)n，
∴Pn(n，(

1

2

)n)，Pn+1(n+1，(

1

2

)n+1)，kPnPn+1=

( 1 2 )n+1-( 1 2 )n

(n+1)-n

=-(

1

2

)n+1，（6分）
直线P_nP_n+1的方程为y-(

1

2

)n=-(

1

2

)n+1(x-n)，（7分），
它与x轴，y轴分别交于点A_n（n+2，0），Bn(0，

n+2

2n+1

)，cn=

1

2

•|OAn|•|OBn|=

(n+2)2

2n+2

，cn-cn+1=

(n+2)2

2n+2

-

(n+3)2

2n+3

=

n2+2n-1

2n+3

＞0，
∴数列{c_n}随n增大而减小∴cn≤c1=

9

8

，即最小的实数t的值为

9

8

点评：本题主要考查函数与数列的综合运用，主要涉及了点与曲线的关系，数列的定义，及函数模型的建立与解决．